Главная страница
Меморандум № 6
15.07.997
Геопотенциал

Настоящий меморандум является непосредственным продолжением Меморандума № 5. Основной и единственной его задачей является вычисление превышения геоида над референц-эллипсоидом. Нам нужно превышение квазигеоида над референц-эллипсоидом, но квазигеоид (усреднённый по мелким колебаниям геоид) по-видимому слабо, на десятки сантиметров отличается от геоида, что существенно меньше ошибки, присущей наземной гравиметрической съёмке. Последняя составляет 3-4 метра. Превышение может составить несколько десятков метров, поэтому его необходимо учитывать, так как мы хотим достигнуть точности в несколько метров (около 5 метров).

Далее, нам необходимо отличать силу гравитационного притяжения от силы тяжести как суммы силы гравитационного притяжения и центробежной силы, которая имеет место во вращающейся системе отсчёта, связанной с Землёй. На вертикаль силы тяжести влияет неравномерность вращения Земли, т.е. формально астрономические координаты точки могут меняться, хотя это изменение ничтожно. Несмотря на малость эффектов такого рода, мы формально будем учитывать неравномерность, т.е. изменение угловой скорости вращения Земли, везде, за единственным исключением. Это вычисление превышения геоида над референц-эллипсоидом. В рамках настоящего вычисления мы будем пользоваться стандартной величиной угловой скорости вращения Земли, которую мы возьмём равной w0=7.292115Ч10–5 рад/с1). Мы и так вычисляем слишком малую поправку, чтобы учитывать влияние на неё неравномерности вращения.

Необходимо также заметить, что геопотенциал — это потенциал силы гравитационного притяжения, а геоид как поверхность нулевого потенциала везде перпендикулярен силе тяжести.

Нуль–пункт. Для каждой геодезической системы задана точка, в которой геоид слипается с референц-эллипсоидом. Этим фактически задаётся положение нуля потенциала гравитационного поля Земли. Для референц-эллипсоида Красовского это Пулковские высоты. Для мелких геодезических систем типа островных эту точку можно задать произвольно, считая, что референц-эллипсоид проведён по поверхности моря рядом с островом (островами). Реально оговоренных нуль-пунктов известно меньше десяти. Думаю, что мне они известны все. Если, что и неизвестно, то можно узнать у Тищенко (университет в Твери). Я планирую с ним рано или поздно познакомиться.

Система координат, в которой мы рассчитываем геопотенциал, в нашей терминологии называется связующей. Она не совпадает с IERS Reference Pole, поэтому коэффициенты и не равны 0.

Потенциал.Потенциал притяжения Земли вычисляется по формуле
,
где r, q , j —сферические координаты точки.Коэффициенты и заданы файлом в текстовом формате (модель JGM-3). Другие величины:
GM5=3.986004415Ч1014 m3/s2
ae=6378136.3 m.
Нормированные полиномы Лежандра с астрономической спецификой, заключающейся в том, что широта отсчитывается не от северного полюса, а от экватора, вычисляются по рекуррентным соотношениям
где .

Превышение геоида над эллипсоидом. К гравитационному потенциалу V надо прибавить потенциал центробежной силы для получения потенциала силы тяжести по формуле
U=V+1/2r2w02,
где r — проекция вектора точки r на плоскость мгновенного экватора. Для получения r необходимо взять вектор №3 из репера R2(d)R3(E)[1:2:3]CRS (процедура Capitaine) или
R1(–eADe)R3(Dy)R1(eA)R3(–zA)R2(qA)R3(–zA)[1:2:3]CRS (классическая процедура Lieske). Тогда
r=r–(rЧ3)3
Сначала надо рассчитать U0, т.е. величину потенциала в нуль–пункте на поверхности референц–эллипсоида, как раз там, где геоид слипается с референц–эллипсоидом.

Теперь возьмём точку на поверхности Земли, географические (иначе эллипсоидальные) координаты которой нам известны (h, B, L. Выберем точку на поверхности эллипсоида с координатами (B, L). Получим геоцентрический вектор r0 этой точки, а затемU(r0). Превышение H геоида над референц–эллипсоидом составит
H=(U0U(r0))/|g|,
где величина ускорения свободного падения вычисляется по формуле:
|g|=978.0319(1+0.0053024sin2B–0.0000058sin22B).


1. Burca, M., 1995, Report of the I.A.G. Special Commission SC3, Fundamental Constants, XXI, I.A.G. General Assembly.